基于大概念的高中数学单元教学设计——以基本不等式单元教学设计为例

李丹

摘要：新课改下，要求全面提高学生的综合素质，提升学生数学核心素养。那如何实现数学核心素养落地呢？可以采用大概念为核心，单元整体教学法。帮助学生将零碎的知识进行整合，建立起知识之间的联系，学生学到的知识将会更系统，这样有利于发展学生的核心素养，实现学生的价值。

关键词：大概念；单元教学；基本不等式

2.2 基本不等式

一、内容和内容解析

1．内容

本节课主要学习基本不等式的内容、历史背景、几何解释、证明方法与应用．

2．内容解析

相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容．

基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关．从数与运算的角度，是两个正数，的“算术平均数”，是两个正数，的“几何平均数”．因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算．从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观的几何解释．

从两个角度讲解基本不等式的证明方法，一是分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式的方法；二是几何法，从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释。从代数运算和几何直观两个角度来证明和解释基本不等式的内容.

  通过基本不等式的内容总结基本不等式模型，借助这个模型可以求最大值和最小值．同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法．因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义，基本不等式的应用，利用基本不等式求最值问题.

难点为：基本不等式的证明方法和几何解释，用基本不等式解决最值问题．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）通过观察重要不等式的特殊情形获得基本不等式，提升数学抽象素养的发展.

（2）通过证明基本不等式的过程，渗透分析法的证明思想，提升逻辑推理素养的发展．

（3）通过给出基本不等式的几何解释，体会数形结合的思想，提升直观想象素养的发展.

（4）通过从“赵爽弦图”到基本不等式的生成的整个过程，使学生增强民族自豪感，感受数学的文化价值和审美价值，提升数学建模、数学运算素养的发展.

2．目标解析

达成上述目标的标志是：

    （1）知道基本不等式的内容，通过从重要不等式抽象出基本不等式的过程，提升了学生数学抽象的素养；理解基本不等式的内容就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用分析法证明基本不等式，能说明基本不等式的几何解释．

   （2）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型解决求最值问题；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养．

三、教学问题诊断分析

利用分析法来证明基本不等式是本节课的一个难点．教师需要逐步引导学生，体会分析法的过程，让学生掌握分析法；基本不等式的几何解释也是学生不容易理解的，需要数形结合地去理解， 这里通过使用信息多媒体技术，通过几何画板展示线段长度的变化，通过几何图形的直观展示从而突破难点；

    在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的重点和难点．

四、教学过程设计

  （一）基本不等式的定义

导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题．

    问题1：在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等式？

师生活动：学生回答，对于任意实数，有，当且仅当时等号成立．

追问：不等式中的取值范国是什么？特别地，如果，，我们用，分别代替上式中的，可以得到怎样的式子？

师生活动：学生回答，，当且仅当时等号成立．

教师总结：对于任意实数，，得到，变形为，当且仅当时等号成立．我们称此不等式为基本不等式．其中叫做正数的算术平均数，叫做的几何平均数．

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

师生活动：教师讲解基本不等式的历史背景，让学生了解基本不等式的发展史.

设计意图：通过不等式，得到基本不等式

的定义，给出取等条件，即当且仅当时等号成立，建立了算术平均数与几何平均数的关系，通过分析基本不等式的代数结构特点，得到基本不等式的代数解释，初步加深对基本不等式的认识．通过教师讲解基本不等式的历史背景，让学生了解基本不等式的发展过程，体会数学知识的发展过程.

（二）基本不等式的证明

问题2：上节课我们看到，证明不等关系，还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？

    师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明上式．教师给予肯定并追问，是否还有其它证法？学生思考.

    追问1：你能否寻找一下此不等式成立的充分条件？也就是要证，只需要明什么，从而形成证明思路．这种证明方法也就是分析法.分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．

师生活动：教师引导学生利用分析法来推到基本不等式的证明过程.

要证                 ①只需证                ②要证②，只需证         ③

要证③，只需证     ④

要证④，只需证         ⑤

显然，⑤成立，当且仅当时等号成立.

追问2：基本不等式成立的条件是什么？如果或基本不等式是否成立？

师生活动：学生通过取特殊值法发现均为非负数，如果存在负数时，该不等式不成立．教师指出基本不等式的定义要求均为正数．

设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略．

    （三）基本不等式的几何解释

     问题3：在图1中，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接，．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？   

师生活动：学生思考后回答，教师引导学生总结：从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于，，教师操作课件，也就是基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释．当且仅当弦过圆心时，二者相等．

设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图形，引导学生将和与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系的规律，从而获得基本不等式的几何解释．从几何和代数两个角度实现基本不等式的证明，培养学生逻辑推理能力，实现从感性认识到理性认识升华.

（四）基本不等式的简单应用

例1  已知，求的最小值．

    追问1：“求的最小值”的含义是什么？

师生活动：学生思考后回答．教师总结：求的最小值，就是要求出一个，使，都有．

追问2：本題中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求的最小值？如果能，如何求？

师生活动：学生思考后回答．教师总结：本題中要求的代数式是和的形式，而且．由于是的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数是一个定值，所以可以利用基本不等式求解．教师展示教科书第45页例1的解答过程．

追问3：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即时，等号成立”?

师生活动：学生讨论后回答．教师总结：这是为了说明“2”是代数式的一个取值，代数式的最小值必须是代数式能取到的值．请同学们想一想，当时成立吗？这时能说是代数式的最小值吗？

追问4：通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？

师生活动：学生讨论后回答．教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”．

设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解決问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范．同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件．

思考1 下列说法是否正确？

的最小值为2     

思考2 下列说法是否正确？

思考3 下列说法是否正确？

     

设计意图:通过思考题的设置，一方面熟悉并记忆基本不等式的内容，另一方面加强学生对基本不等式使用条件的理解，即“一正，二定，三相等”.

练一练：

1、的最小值为多少？

2、若，则的最小值为多少？

设计意图:再次熟悉巩固基本不等式，并注意使用条件.引导学生根据所求代数式的形式，判断能否利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解決问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范．同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件．

例2 已知都是正数，求证：

（1）如果积等于定值那么当时，和有最小值；

（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值．

师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善．

追问1：通过本题，你能说说用基本不等式能够解決什么样的问题吗？

师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解決．

教师总结：例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：

（1）如果正数的积等于定值，那么当时和有最小值；

（2）如果正数的和等于定值，那么当时积有最大值．

设计意图：在例1的基础上，继续应用基本不等式来解决求最值问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，然后总结出利用基本不等式解决最值问题的数学模型，为用基本不等式解决实际问题创造了条件．

走出误区:

判断正误

（1）函数的最小值是2.

（2）成立的条件是.

（3）的充要条件.

（4）若，则的最小值是.

（5）.

（6）当时，的最小值是2.

（7）当时，.

设计意图：走出误区的设置为了让学生对基本不等式的易错点有一定的注意。利用总结的基本不等式模型解决最值问题.

(五）归纳小结，布置作业

教师引导学生回顾本节知识，并回答下面的问题：

     （1）什么是基本不等式？如何推导得到基本不等式？

     （2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上解释？

     （3）有哪些方法可以证明基本不等式？

     （4）基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解决最值问题？需要注意什么？

设计意图：引导学生回顾总结本节课的学习内容和研究方法．

布置作业：教科书45页习题第1，2，3，4题．

五、目标检测设计

1.已知，求的最小值及相应的值；

    2.已知，求的最大值及相应的值．

设计意图：考查学生对基本不等式公式的应用，以及使用公式时要注意公式的使用条件是否满足.

六、板书设计： 

2.2基本不等式

         例1

例2

七、教学反思

本节课通过利用前面所学的重要不等式得到基本不等式的内容，教师讲解基本不等式的历史背景，帮助学生更好地理解代数平均数和几何平均数.接下来由教师引导，学生讨论得到基本不等式的证明方法即分析法和几何法，并给出基本不等式的几何解释，并借助信息技术演示基本不等式的几何解释，帮助学生更好地理解基本不等式。例1和例2的设计是为了让学生能够利用基本不等式求最值，并注意使用基本不等式需要满足的三个条件即“一正二定三相等”，总结基本不等式的应用模型，走出误区的设计是为了让为了让学生练习基本不等式的应用，并注意取等条件，但因为课堂时间有限，没能给学生充分的谈论时间，而是直接让学生回答了问题。应该在前面的复习引入和基本不等式的历史背景的讲解时语言再简洁一些，以便给后面多一些时间来让学生讨论，从而能够更充分的理解基本不等式的使用条件.

本节课是以问题串的形式展开的，在教师的提问引发学生思考，进而学生找寻答案，最后教师讲解这样的过程中展开的，问题的设置和习题的选取遵循了学生发展的认知规律，不足之处就是留给学生思考谈论的时间偏少.从课堂效果来看，学生能够跟着老师的问题来思考找寻答案，使用基本不等式需要注意的易错点也在走进误区的练习中注意排解，本节课基本完成了预设的教学任务，最后设置了目标检测，也是要求同学们进一步理解和应用基本不等式.