基本不等式（第一课时）

宋艳艳

一、教学过程

1.新课引入：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（让学生通过图形自己总结从中看出哪些相等和不等关系，这样使学生更明确这些关系的建立，为以后公式的运用打下基础，在讲课过程中会发现学生还有许多自己的想法。）

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形两条直角边长为a，b,那么正方形的边长为a2+b2。于是，4个直角三角形的面积之和S1=2ab，正方形的面积S2=a2+b2。

由图可知S2＞S1，即a2+b2＞2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时a2+b2=2ab，所以得到第一个公式a2+b2≥2ab（当且仅当a=b取等）。从这里让学生自己总结如果用a，b代替公式中的a，b那么又会得到什么样的式子，是不是能够应用于所有实数为后面的取值范围做准备。第二个公式a+b≥2ab。

2.代数证明：

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明。

证法一（作差法）：a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当a=b时取等号（在该过程中，可发现a，b的取值可以是全体实数）。

证法二（分析法）：由于a，b∈R+，于是要证明≥ab，只要证明a+b≥2ab，即证a+b-2ab≥0，即（a-b）2≥0，该式显然成立，所以≥ab，当a=b时取等号。

基本不等式:若a，b∈R+，则ab≤（当且仅当a=b时，等号成立）；若a，b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）。称ab为a，b的几何平均数，称为a，b的算术平均数，基本不等式ab≤又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均。

3.典例讲解：

例如：若x>0，求y=x+的最小值及此时x的值。（例题的讲解也是让学生知道这样的题如何书写过程，过程中需要注意哪些问题，在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示y=x+(x≠0)的函数图像，使学生再次感受数形结合的数学思想。）

变式：（让学生自己给定不同x的取值）求y=x+的范围。（变式是为了让学生更好体会一正二定三相等的结论，但是在上课期间学生第一个给的范围是x＜0，这个正好体现了一正的问题，学生第二个给的范围无法取得取等条件正好体现了三取等的。）

4.基础训练：

（1）求y=x+（x＞2）的最小值。（第一题是构造思想的体现，学生需要深刻理解怎样能构成定值的问题y=x-2+（x＞2）。）

（2）求y=（x＞-1）的最小值。（第二题是分离构造思想的体现y===x+1++5。）

（3）求y=的最小值。（第三题在有了第一题和第二题的基础上学生分离构造了但是可能忽视取等条件y==x2+4+。）

5.能力提升:

（1）求y=的最大值。

（2）已知x∈（+），求y=2x-1+5-2x的最大值。

这两道题一道是为了检验学生公式的灵活运用，一道是为了检验学生的思维和计算能力的体现。

6.课时小结：

（1）两个基本不等式:若a，b∈R+，则ab≤（当且仅当a=b时，等号成立）；若a，b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）。

（2）一正、二定、三取等。

7.板书设计

二、教学反思

本节课是新课教授，在讲解过程中我引入y=x+(x≠0)后将整节课交还给了学生，我让学生按照刚才的路子自己给这个函数重新加了范围，第一个学生给出的范围正好是x＜0，正好体现了不等式中的一正问题，第二个学生给的范围就无法求最值只能求范围，这样就离开了我想要的取等问题，从这一点看学生是个独立的个体，本身不能做到我们上课老师想要的设计。第二个问题就是计算问题，虽然在课堂开始的时候使用了多媒体展示对号函数的图像，但个别学生用起来对号函数还是有些问题，这都是在今后的教学中需要注意的问题。问题三最后的分离构造问题对初学的学生有一定的难度系数，即使有的学生分离出了我们想要的形式，但是最后的结果却不一定对，学生对取等虽然知道，但是在应用时候还是会遗忘，这就是要出现在选择题里学生判断起来容易失分，因此在讲基本不等式时还应对学生重点强调，注意几个方面，让学生有深入的了解，以确保做题的准确。