穿行于现实与模型之间——以“用字母表示数”为例

顾学文

摘要：模型是数学核心素养之一，如何帮助小学生建立数学模型、体会数学的基本思想和思维方式？我们以“用字母表示数”一课为例，进行了思考和实践。从现实生活中取材，激发学生探究欲望。引领学生经历建模过程，体会数学思想。引导学生主动建模，体会模型作用。

关键词：建模 数学思想 数学模型

模型作为数学核心素养之一，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将其表述为“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”^[1]如何帮助小学生建立数学模型、体会数学的基本思想和思维方式？带着这个问题，我们以“用字母表示数”一课为例，进行了思考和实践。

一、核心问题。

1.用字母可以表示不确定的、未知的数（变量）。

2.用含有字母的式子（以下简称“字母式”）也可以表示数，同时兼有表达数量关系（数学模型）的作用。

3.用字母、字母式表示数时，字母有一定的取值范围。

二、课前思考。

《标准》指出：“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”^[2]

1.从现实生活中取材，激发学生探究欲望。

现实生活中的多种素材，多可以建模成字母式，用“摆三角形”，还是用“魔盒”，或是用“师生年龄”，老戏如何新唱？备课组导师的一个点子，让我们眼前一亮。微信红包，普通红包，建模乘法字母式；拼手气红包，建模减法字母式。

2.引领学生经历建模过程，体会数学思想。

前文所述本课的核心问题“变量”、“字母式”、“取值范围”，我们希望“随风潜入夜，润物细无声”。拼手气红包，如总金额10元，红包个数2个，则一个红包的钱是不确定的、未知的，可以用字母（如a）表示。另一个红包的钱，可以用另一个字母（如b）表示，更可以用字母式（10－a）表示。同时，字母（a）是有一定取值范围的。

3.引导学生主动建模，体会模型作用。

在情境中建立模型，在沟联旧知（运算律、计算公式）中“快闪”模型，在“4a”中扩展模型，不断让学生体会模型的作用，感悟数学思想。

三、教学实践。

1.拼手气红包。

（1）出示“拼手气红包”图。

说说老师是如何“发红包”的？（拼手气红包，总金额10元，红包个数2个。）

如果第一个红包里有1元，另一个红包里有（10－1＝9）元。

如果第一个红包里有2.5元，另一个红包里有（10－2.5＝7.5）元。

……

（2）用字母表示数。

打开之前，红包里的钱无法用我们以前学过的整数、小数、分数来表示，看来，该有一个新方法来表示第一个红包里的不确定的（未知的）钱数。想想办法。（用字母a表示。）

（3）用字母式表示数、数量关系。

这位同学的办法可行吗？好，第一个红包里有a元，另一个红包里呢？

预设一：另一个红包里有b元。

预设二：另一个红包里有10－a元。

哪个更具有数学味道？（10－a。）

另一个红包里有10－a元，这里的“10－a”，既表示数，又表示数量关系。

（4）代数求值、取值范围。（略。）

（5）小结。

用字母可以表示不确定的（未知的）数。

用字母式既可以表示数，也可以表示数量关系。

用字母、字母式表示数时，字母有一定的取值范围。

（设计意图：以“随机红包”为载体，将本课核心问题融入猜红包、点红包、算红包过程之中。打开之前，突破“用字母、字母式表示数、数量关系”，第二次打开红包，侧重“取值范围”，两次打开，解决“代数求值”。引导小结，帮助学生疏理、明晰核心问题。）

2.普通红包。

（1）红包个数不确定。

单个金额5元，红包个数1个，总金额多少元？（5×1＝5。）

单个金额5元，红包个数2个，总金额？（5×2＝10。）

……

单个金额5元，红包个数不确定，如何表示？（红包个数a个。）总金额？（5×a。）

这里的5×a既表示数（钱数），又表示数量关系（单个金额×个数＝总金额）。

（2）单个金额不确定。

红包个数6个，单个金额不确定，如何表示？（单个金额b元。）总金额？（6×b。）

（3）红包个数、单个金额都不确定。

红包个数、单个金额都不确定，如何表示？（红包个数a个，单个金额b元。）总金额多少元？（a×b。）

（设计意图：数学是思维的体操，课堂需要学生静静的思考。打开普通红包的惊喜远不及拼手气红包，我们借“普通红包”为媒介，仍紧扣核心问题，引领学生在思中学，在学中思。红包个数不确定、单个金额不确定、两者都不确定，三个层次的递进，进一步引领学生经历建模过程，体会代数思想。）

3.深入探究。

（1）在两次红包（减法、乘法）情境的基础上，结合其他情境（如加法、除法），引导学生深入探究。（略。）

（2）沟联旧知、简写。（略。）

（3）从模型回到现实。

明明去买铅笔，每支a元，4a表示什么？（4表示什么？4a表示什么？）

芳芳去买钢笔，买了4支，4a表示什么？（a表示什么？4a表示什么？）

刚才4a表示正方形的周长，现在4a表示4支铅笔的总价，又表示4支钢笔的总价。你能用4、a、4a来说说其他数学问题吗？

（设计意图：相同（相似）的字母式，可以表示相同（相似）的数量关系。引领学生从抽象出的相同模型回到不同的现实问题中，体会“万变不离其宗”。）

四、实践反思。

1.对“用字母表示数”不同水平的思考。

在英国的儿童数学概念发展水平研究（CSMS）中，柯利斯（K.Collies）提出，学生对“字母表示数”的理解可以概括为6级水平：^[3]

（1）赋予特定数值的字母；

（2）对字母不予考虑；

（3）字母被看成一个具体的对象；

（4）字母作为一个特定的未知量；

（5）一般变化的数；

（6）字母作为一个变量。

本节课，我们意图引领学生学习用字母可以表示不确定的、未知的数（变量）。虽然CSMS小组的研究对象是11～16岁儿童，但对于10学龄的五年级儿童来说，也应存在不同级的理解水平，课上受时、空限制兼顾不周。

2.对“模型回到现实”的思考。

模型作为数学基本思想之一，史宁中教授将其表述为“数学模型是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的桥梁。”^[4]

在本课之前，学生已经完成了如下建模过程：从现实问题（情境）到直观模型（如直观图案表达数量关系），从直观模型到抽象模型（如抽象数学语言表达数量关系）。本课中，我们力求两点：一、引领学生在抽象模型中再次深入，从数学语言表达数量关系深入到字母表达数量关系。通过“微信红包”，剑指核心问题，充分经历现实到模型的过程。二、引领学生从抽象模型回到现实问题。“4a”的解释，让学生将“4a”这个模型打回现实。正如刘加霞教授所述：“只有达到‘有来有回’的过程，才可称为学会了‘建模’。”^[5]但要让学生真正能自如穿行于现实、模型之间，谈何容易。且本课是第一课时，这个“来回”要达到何种程度，仍需我们作进一步的思考、实践。

参考文献

^[1][2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

^[3]徐向颖.臧萍.助学生完成认知上的飞跃[J].小学数学教师,2014(3).

^[4]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学，2011(7).

^[5]刘加霞.小学数学中基本数学思想的类别与内涵[J].课程·教材·教法，2015(9).

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