以小见大 由浅入深——对2016年温州市数学中考第8题

的变式探究

浙江省温州市第三中学 325000

【摘要】

各地的中考数学试题是初三数学复习的宝贵资源，通过对一道2016年温州中考数学试题的研究，从多角度分析，发掘其内在本质，注重试题的变式、延伸和拓展，发现解决一类问题之间的联系。在变式教学中，既拓宽学生的视野、启迪学生的思考和探索，又增强学生解决问题的能力，达到 “做一题，会一片”的效果，让学习更有效，让课堂更精彩。

【关键词】

中考试题 变式 拓展

一份优秀的中考试卷形成凝聚着命题专家的心血和集体的智慧，是教师在平时教学中值得利用的宝贵资源。通过分析和研究中考试题中的一些小题，可以把蕴含在其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出隐含问题的本质属性。通过对这些试题的探究、延伸与拓展，激发学生的学习兴趣，启发学生对问题的思考，促进学生在学习的路上不断地探究，从而提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的思维技能，优化学生的数学思维品质，还可以培养学生探索创新的能力。笔者现以一道中考选择题为例，谈谈如何在课堂上进行有效的数学变式教学，与大家交流。

1 原题呈现及分析

题目（2016年浙江·温州卷第8题）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（ ）

A．y=x+5  B．y=x+10 

C．y=﹣x+5  D．y=﹣x+10

分析：本题将矩形放置于平面直角坐标系中研究，其中矩形的运动变换，归结为图形上关键点P位置的变换，再转化为描述关键点P坐标的数量关系探究。将点P坐标的计算与矩形性质有机融合，综合运用几何图形性质探究线段长度的关系，并将线段长度转化为点的坐标，较好地考查了学生对点的坐标的几何意义的理解和数与形的转换能力。此题虽然难度不大，但通过问题解决，学生能够深刻理解点的坐标是将数与形有机结合的重要工具。因此，在一定程度上，坐标自身承载着变化规律和对应关系，这种变化规律或对应关系往往与代数式、方程或函数紧密结合，更好地揭示了数学是研究数量关系和空间形式的科学的思想内涵。

2 变式教学简述

2.1 铺路搭桥 知识构建

如图（图一），一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形EOFP.

一

（图一）

问：若直线AB的函数表达式为y=-x+7，则矩形的周长是多少？

二 问：若已知矩形的周长为10，则求直线AB的函数表达式。（回答完毕后，展示中考原题）

三问：由上题可知，如图二在平面直角坐标系中放置矩形，当它的周长一定时，动点P的运动路径是多少？当它的面积一定时，动点P的运动路径是多少？

通

（图二）

过基础三问，让学生明白在平面直角坐标系中，坐标与点的位置存在对应关系。平面直角坐标系中的点的坐标，使几何图形数量化。当图形发生变化时，我们需要研究变化

中的不变性：一方面，研究图形变化之后对应点的坐标（数量）的变化规律；另一方面，研究对应点的坐标有规律地变化所引起的点或图形（位置）的变化 ，应该说，用坐标的方法研究图形，是定性分析与定量计算的有机融合。

2.2 层层递进 能力提升

电脑呈现中考第8题（题略）（说明：以下所有问题都是在中考题第8题的条件下进行变式探究）

四问：（见上图一）在此题中，矩形EOFP的面积有最大值吗？如果有，请求出来矩形的最大面积，并求出此时点P的坐标，如果没有，请说明理由。

[ 答案：由S=x(-x+5)得出当x= 时，S_最大值= ，此时点P（ ）]

五问：（见图三）在四问的结论下，连结AE交PF于点D，

求点D的坐标。

[

（图三）

答案：D（ ）]

追问：你是用什么方法求得点D的坐标？

（学生方法汇总：全等、相似、三角函数、利用直线AE的函数表达式……）

六 问：对于动态矩形EOFP而言，若点D的坐标为（m，n），你能用含m的代数式表示n吗？

[答案：n= （m-5）²]

追问：点D的运动路径是什么图形?(抛物线的一部分）

（

（图四）

教师用几何画板演示点D的运动轨迹，详见图四）

通过此三问及追问，让学生进一步体会将图形放置

在平面直角坐标系中，为研究图形的性质、图形变化的规律等，提供了新的工具和新的方法。充分体现了动点（点的坐标）、动直线（线段长度）与图形性质之间的本质联系。思维的活动得以从外部结构的简单模仿发展为对方法的深化类比。同时，不同情境下呈现出不同的函数关系，将坐标变化与图形运动之间的变化规律和对应关系演绎得淋漓尽致。

2.3 蕴势驱动 思维培养

师：同学们，根据刚才的学习经验和所得结论，请自由设计问题，编完后交流。

（学生兴趣高涨，合作交流，思维活跃）

学生编题部分问题展示：

1. 求线段DP长度的最大值；

2. 连结OD，当OD平分∠EOF时，求点D的坐标；

3. 在第一象限内，点D到直线AB的最小距离是多少？

……

学生编了很多问题，由于时间关系，挑选以上3个展示的问题进行解题思路交流，特别是问题3还可以转化为问题1来解决，渗透了“化斜为直”的转化思想。

结论开放的编题任务，能使学生产生强烈的探究欲望，给他们提供自由生长的“土壤”，丰富他们的情感体验。当我们把几何问题转化为代数问题，完成图形到符号之后，就能够运用符号进行运算和推理，得到一系列代数结论，进而又对图形做出理性的判断。在已知的知识、方法储备下，学生的自主编题学会从不同角度思考问题，学会直观认知与感性分析相结合，有一定的思维含量，不仅能有效地打开思维，培养问题意识和创新精神，也把本节课的学习推向高潮。

3 变式教学感悟

3.1 小题大做，提升能力

一些容易题由于涉及的知识点较为单一 ，具有起点低、入手易的特点。事实上，如果教师能有意识地对一些容易题做出恰当的变式、引申和拓展，不仅可以照顾到班级不同层次的学生的学习需求，而且可以起到促进学生对基础知识的理解，完善知识结构，提升能力的目的。

3.2 追根溯源，凸现本质

本课问题的编制源于中考选择题，在变式探究过程中，组织学生追根溯源，充分凸显数学知识、方法和思想三个维度的本质。解决问题，始终离不开“函数——点的坐标——图形”，即数学知识本质。解决问题，需要用到“点的坐标与图形的性质”相结合的方法，即数学方法本质。在思维上，用到了“由特殊到一般”、“数形结合”、“方程思想”、“转化思想”等重要数学思想，即数学思想本质。

3.3 变式拓展，培养思维

实践证明，运用变式教学能促进学生学习的主动性，培养学生的创新精神。变式教学一题多用、多题重组，能唤起学生的好奇心和求知欲。利用问题之间的关联性，层层深入，缩短学生的思考时间，提高解题高效性。因而能够激发学生产生参与学习的动力，培养学生的问题意识，从而提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容。

学习的本质在于学会学习、学会思考、学会创造。本节课内容起点低，入口较宽，内涵丰富，适合各层次学生的学习，具有一定的参考价值。根据学情优先挑选有丰富内涵的针对性试题，精心设计启发性问题串，密切关注学生的思考参与度，以一道题的讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨，便可真正达到 “做一题，会一片”的效果。

参考文献：

（1）《名师备课经验》 主编：肖川

（2）《中国著名特级老师 教学思想录》之《中学数学卷》 主编：钟善基

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