小升初数学阴影部分面积的解题策略

罗绍龙  ,                                                                       ,云南省楚雄州南华县五街中心学校  ,675203

”教学的重点和难点，也是小升初数学试题命题的热点。有关阴影部分面积的计算不会只是简单地求某个单一图形或者是规则图形的面积，而是将三角形、正方形、长方形、梯形、圆、扇形等多种图形进行组合，求组合后形成不规则图形阴影部分的面积。这给小学生学习阴影部分面积带来一定困难，下面借助图形的运动和图形的割补，将不规则图形转化为规则图形，从而达到解决问题的目的。

一、和差法

把所求阴影部分图形转化为若干图形面积的和或差来计算。

1、圆与正方形的组合

例题1、如图1，已知正方形的边长为4cm,求图形阴影部分的面积。                        

    分析：阴影部分图形是由边长为4cm的正方形和直径

为4cm的半圆组成，即图形阴影部分的面积等于正方形的

面积与半圆的面积之和。

解：S阴影=4×4＋×3.14×22=22.28(cm2)

2、圆与三角形的组合                                    图1

例题2、（2015年云南楚雄）如图2，求阴影部分的面积。                                                                 分析：阴影部分的面积等于直径为6cm的半圆面积减去一个三角形的面积，三角形的底是半圆的直径6cm，高是半圆的半径3cm。                               

                                                         图2 

解： S阴影=×3.14×32-（6×3）÷2 =5.13(cm2)

3、圆与梯形的组合

例题3、（2011年云南楚雄）如图3所示，已知圆的半径为5厘米，梯形的下底是9厘米，求阴影部分的面积。

         

图3

分析：阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去四分之一圆的面积，圆的半径为5厘米，直角梯形的高和上底都是5厘米。

解：S阴影=（5＋9）×5÷2－×3.14×5２  =35－19.625=15.375（cm2 ）

4、圆与四叶草的组合

例题4、如图4，正方形的边长为4cm，求阴影部分（四叶草）的面积.

分析：阴影部分是一个四叶草图案，先画正方形的两条

对角线，则阴影部分面积等于一个半圆的面积减去一个

三角形的面积的4倍。        

解：S阴影=（3.14×22－4×2÷2）×4=（6.28-4）×4

=9.12（cm2）                                         图4

二、割补法

根据阴影部分图形的特点，将组合图形利用分割或补形的方法将不规则图形转换为梯形、长方形、三角形、正方形、圆形等规则图形，再求面积。

1、平移割补

例题5、(2020年云南大理)求图中阴影部分的面积。（单位：cm）

图5

分析：将图中扇形阴影部分切割后向右平移，补在右边空白扇形中，阴影部分拼成一个上底6cm,下底10cm,高6cm的直角梯形。

解：S阴影=（6＋10）×6÷2=48（cm2）

例题6、(2019年云南昆明)如图6所示，求阴影部分的面积。

             

图6                  图7                 图8

分析：将图6中正方形的两条对应边长的中点用虚线连接得到图7，沿着虚线剪开，剪得4个小正方形，对角的两个小正方形沿着对角线平移重新拼成一个正方形图8，正方形的边长不变，这时阴影部分面积等于正方形的面积减去圆的面积。也可直接用边长为4的正方形面积减去4个半径为2的扇形面积。

解：S阴影=4×4－3.14×22=3.44(dm2)

2、旋转割补

例题7、如图9所示，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

   

图9                  图10                 图11

分析：图9中，作阴影部分正方形的两条对角线，交点是O,阴影部分绕O点顺时针旋转450得到图10，两条对角线把阴影部分平均分成四个三角形，下半部分的两个三角形以左右两端点为中心分别按顺、逆时针旋转900得到一个长方形图11，阴影部分的面积等于长为10cm、宽为5cm的长方形面积。

解：S阴影=10×5=50(cm2)

例题8、（2009年东华大联盟）如图12所示，在一个等腰直角三角形中削去一个三角形，剩下一个下底9cm，上底5cm的等腰梯形（阴影部分），求这个等腰梯形的面积。（单位：cm）

图12

分析：因不知道这个等腰梯形的高，不能直接求出梯形的面积，将直角三角形绕直角顶点顺时针旋转90

0、1800、2700，构成一个方环图形，方环阴影部分的面积等于边长为9cm和5cm的两个正方形的面积之差。所求阴影部分的面积等于方环阴影部分面积的四分之一。

解：S梯形=（9×9－5×5）÷4=14(cm2)。

3、对称割补

例题9、（2019年四川广安）如下图三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形，OB=5厘米，求阴影部分的面积。

         

图13                      图14

分析：以扇形的一条边OC为对称轴，作扇形的轴对称图形，得到如图14的扇形，所求阴影部分的面积等于扇形面积减去等腰直角三角形的面积的一半。

解：S阴影=（×3.14×52－5×5÷2）÷2=（19.625－12.5）÷2=3.56（cm2）   

4、组合变换割补

例题10、（2021年云南楚雄）如图15所示，已知长方形的长是8厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。

     

图15                   图16                    图17

分析：将图15中作一条虚线得到如图16，将右边圆的弓形阴影部分对折，阴影部分变成一个直角梯形图17，则所求阴影部分面积也就是求直角梯形的面积，上底是8－6=2，下底是8，高是6。当然该题也可用和差法求阴影部分面积。

解：S阴影=（2＋8）×6÷2=30(cm2)

例题11、如图18所示，三个半圆的半径都是2cm,求阴影部分的面积。

          

      图18                  图19

分析：图18三个阴影部分扇形轮廓构成等边三角形，三角形的内角和为1800，三个阴影部分扇形割补成一个半圆如图19，

解：S阴影=3.14×22÷2=6.28(cm2).

三、等积变换法

阴影部分的面积是三角形，根据已知条件不能直接求出面积，利用三角形的形状在变，面积不变，可以求出阴影部分三角形的面积。

例题12、如下图20，AE∥BD,长方形的长8cm,宽6cm，求阴影部分的面积.

      

                  图20

分析与解：因为△ABD和△BED是同底等高，所以这两个三角形面积也相等，阴影部分的面积等于△ABD的面积，底是长方形的长，高是长方形的宽，面积为6×8÷2=24（cm2）

例题13、(2019年河南南阳)图中的两个正方形的边长分别是10cm和6cm，求阴影部分的面积

 

图21                         图22

分析：图21中，连接BD，显然△BCE和△BDE是同底等高，其面积相等，即阴影部分面积就是△ABD的面积

解：S阴影=6×10÷2=30(cm2)

[参考文献]

[1]韩安国.中考数学试题中阴影部分面积的解题策略[J].中学生数学,2020,（24）：40-43.

[2]蒋秀虹.探索变式教学巧求阴影部分面积[J].新课程（小学）,2018,(07).

[3]孙小军.另辟蹊径有效引导化简为简——例谈求阴影部分面积的方法 [J].小学数学参考,2018(35):65-66.